3.2.5 距离(选学)学习目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．知识点一 点到平面的距离1．图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．知识点二 直线到平面的距离1．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．2．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．知识点三 四种距离的关系题型一 点线距离例 1 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别是 C1C，D1A1的中点，求点 A 到直线 EF 的距离．解 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，如图．设 DA＝2，则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，EF＝(1，－2,1)，FA＝(1,0，－2)．∴|EF|＝＝，FA·EF＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，∴FA在EF上的投影为＝.∴点 A 到直线 EF 的距离d＝＝＝.反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影．(4)利用勾股定理求点到直线的距离．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练 1 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．解 AB＝1，BC＝2，AA′＝3，∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，∴A′C＝(1,2，－3)．又 BC＝(0,2,0)，∴BC在A′C上的投影为＝.∴点 B 到直线 A′C 的距离d＝＝＝.题型二 点面距离例 2 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别是边 AB，AD 的中点，CG 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 CG＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，则 G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，∴GE＝(4，－2，－2)，GF＝(2，－4，－2)，BE＝(0，－2,0)．设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)．由得∴x＝－y，z＝－3y.取 y＝1，则 n＝(－1,1，－3)．∴点 B 到平面 ...
