专题突破三 空间直角坐标系的构建策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱例 1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面 ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值．考点 向量法求直线与直线所成的角题点 向量法求直线与直线所成的角解 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以BC1＝(－2，－3,2)，CD＝(0，－1,0)．所以 cos〈BC1，CD〉＝＝.故异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值为.点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．跟踪训练 1 如图，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，∠PAD＝90°，且 PA＝AD＝2，E，F 分别是线段 PA，CD 的中点，求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值．考点 向量法求直线与直线所成的角题点 向量法求直线与直线所成的角解 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥AD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以，PA⊥平面ABCD，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 Axyz，则 E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．EF＝(1,2，－1)，BD＝(－2,2,0)，故 cos〈EF，BD〉＝＝.即异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为.二、利用线面垂直关系例 2 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB⊥平面 BB1C1C，E 为棱 C1C 的中点，已知 AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标解 过点 B 作 BP 垂直 BB1交 C1C 于点 P，因为 AB⊥平面 BB1C1C，所以 AB⊥BP，AB⊥BB1，以 B 为坐标原点，分别以 BP，BB1，BA 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Bxyz.又 BP⊥BB1，BB1...
