第三章 本章小结专题一 空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．[例 1] 如图所示，平行六面体 A1B1C1D1ABCD，M 分AC成的比为，N 分A1D成的比为 2，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用 a、b、c 表示MN.【分析】 要用 a、b、c 表示MN，只需结合图形，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可．【解】 如上图，连接 AN，则MN＝MA＋AN，由已知四边形 ABCD 是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝a＋b，又MA＝－AC＝－(a＋b)．由已知，N 分A1D成的比为 2，故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝(c＋2b)．于是MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)．【点评】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．专题二 空间向量与线面位置关系 证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明．证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法．【例 2】 如图，在矩形 ABCD 中 AB＝2BC，P、Q 分别为线段 AB、CD 的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：AQ∥平面 CEP；(2)求证：平面 AEQ⊥平面 DEP.【分析】 证明线面平行问题，可以利用与平面内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法向量垂直，也可用传统方法求证．面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证．同时，也可用两平面的法向量垂直求证．【证法一】 (1) EP⊥矩形 ABCD 所在的平面，且 P、Q 均为 AB，DC 的中点，∴PQ⊥AB，故以 P 为坐标原点，以 PA，PQ，PE 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建系如右图所示．令AB＝2，PE＝a，则A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，C(－1,1,0)．∴AQ＝(－1,1,0)，PC＝(－1,1,0)，∴AQ＝PC，∴AQ∥PC，∴AQ∥PC. AQ⊄平面 EPC，PC⊂平面 EPC，∴AQ∥平面 EPC.(2) D(1,1,0)，E(0,0，a)∴PD＝(1,1,0)，PE＝(0,0，a)，∴AQ·PD＝(－1,1,0)·(1,1,0)＝－1＋1＝0，AQ·PE＝(－1,1,0)·(0,0，a)＝0.∴AQ⊥PD，AQ⊥PE，即 AQ⊥PD，AQ⊥PE，∴AQ⊥平面 EPD， AQ⊂平面 AEQ，∴平面 AEQ⊥平面 DEP.【证法二】 传统法．(1)在矩形...
