第三讲 圆锥曲线性质的探讨整合提升知识网络典例精讲 圆锥曲线是高中数学的主要内容之一,在解析几何中已作过详细的讨论,但是本讲采用了一个崭新的视角,在空间研究这三种曲线,从中我们看到了更加丰富的内容,特别是了解了准线、焦点、离心率的来源,使我们更直观、更深入地认识了它们的结构特点和几何性质的本质.本讲有三类问题,一是探究各种曲线的结构特点和方法:Dandelin 双球的应用和数形结合的方法;二是探究圆锥曲线的几何性质:焦点、准线、离心率、轴等,以及它们之间的联系;三是了解平行射影的性质.【例 1】已知 F1、F2是椭圆的左、右焦点,以 F1为顶点,F2为焦点的抛物线交椭圆于两点 P、Q,且21PFPF =e,其中 e 是椭圆的离心率,那么 e=______________.图 3-1解析:如图 3-25,设 l 是椭圆的准线,由离心率定义,则PMPF1 =e.由条件21PFPF =e,∴PMPF1 =21PFPF .∴PM=PF2.而点 P 在抛物线上,F2为抛物线焦点,根据抛物线定义,∴l 又是抛物线的准线.∴F1H=F1F2=2c.∴OH=3c.又∵椭圆两准线间距离为ca 22,1∴OH=ca 2 .∴ca 2 =3c.∴e=33ac.答案:33温馨提示 本题综合运用了圆锥曲线的定义、几何性质(焦点、顶点、中心、准线、离心率),只要画出平面示意图是比较容易求解的.【例 2】如图 3-2,已知圆锥母线与轴的夹角为 α,平面 π 与轴线夹角为 β,Dandelin 球的半径分别为 R、r,且 α＜β,R＞r,求平面 π 与圆锥面交线的焦距 F1F2,轴长 G1G2.图 3-2解:连结 O1F1、O2F2、O1O2交 F1F2于 O 点,在 Rt△O1F1O 中,OF1=tantan111rOFOFO.在 Rt△O2F2O 中,OF2=tantan2222ROFOFO.∴F1F2=OF1+OF2=tanrR .同理,O1O2=sinrR .连结 O1A1、O2A2过 O1作 O1H⊥O2A2.在 Rt△O1O2H 中,O1H=O1O2·cosα2=sinrR ·cosα.又 O1H=A1A2,由切线定理,容易验证 G1G2=A1A2,∴G1G2=sinrR ·cosα.3
