高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

第三章 空间向量与立体几何[自我校对]① 共面向量定理② 坐标表示③ 加减运算④ 坐标运算 空间向量的概念及运算1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量.2.空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式 cos〈a，b〉＝是两个重要公式.(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝|a|2，a 在 b上的投影＝|a|·cos θ 等. 给出下列命题：① 若AB＝CD，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB 与 CD 为同一线段；② 若 a·b＜0，〈a，b〉为钝角；③ 若 a 是直线 l 的方向向量，则 λa(λ∈R)也是 l 的方向向量；1④ 非零向量 a，b，c 满足 a 与 b，b 与 c，c 与 a 都是共面向量，则 a，b，c 必共面.其中错误命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【精彩点拨】 紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法.【规范解答】 ①错误，如在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝A1B1，但线段 AB 与 A1B1不重合；②错误，a·b＜0，即 cos〈a，b〉＜0，得＜〈a，b〉≤π，而钝角的范围是；③错误，当 λ＝0 时，λa＝0，不是 l 的方向向量；④错误，如在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，令AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则它们两两共面，但AB，AD，AA1不共面.【答案】 D[再练一题]1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 x＝________，y＝________.图 31【解析】 由题知AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，从而有 x＝1，y＝.【答案】 1 空间向量与线面关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决. 在四棱锥 PABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面 ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M 为PC 的中点.(1)求证：BM∥平面 PAD；(2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN⊥平面 PBD？若存在，确定 N 的位置；若不存在，说明理由.【精彩点拨】 (1)证明向量BM垂直于平面 PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点 N，设出其坐标，利用MN⊥BD，MN⊥PB...