第三讲 圆锥曲线性质的探讨一、选择题1.如图所示，在半径为 2 cm 的⊙O 内有长为 2 cm 的弦 AB.则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A.60° B.90°C.120° D.150°解析 作 OC⊥AB 于 C，则 BC＝，在 Rt△BOC 中 cos∠B＝＝，∴∠B＝30°，∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.答案 C2.如图所示，在⊙O 中，弦 AB 的长等于半径，E 为 BA 的延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD 的度数是( )A.60° B.50° C.45° D.30°解析 连接 OB，则∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，又 ∠BCD＝∠DAE＝80°，∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝80°－30°＝50°.答案 B3.如图，⊙O 的直径为 CD，与弦 AB 交于点 P，若 AP＝4，BP＝6，CP＝3，则该圆的半径为( )A.5.5 B.5C.6 D.6.5解析 根据相交弦定理，可得 AP·BP＝CP·DP，即 4×6＝3×DP，∴DP＝8，∴2r＝DP＋CP＝8＋3，∴r＝5.5.答案 A4.已知⊙O 的半径为 5，两弦 AB，CD 相交于 AB 的中点 E，且 AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦 CD 的距离为( )A.B.C.D.解析 如图所示，过 O 作 OH⊥CD，连接 OD，则 DH＝CD，由相交弦定理知 AE·BE＝CE·DE，而AE＝EB＝4，可设 CE＝4x，则 DE＝9x，所以 4×4＝4x×9x，解得 x＝，即 OH＝＝＝.答案 A5.如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，直线 MN 切⊙O 于点 C，BE∥MN 交 AC 于点 E，若 AB＝6，BC＝4，则 AE＝( )A.B.C.1 D.解析 MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM＝∠A. MN∥BE，∴∠BCM＝EBC，∴∠A＝∠EBC.又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，∴＝. AB＝AC，∴BE＝BC.∴＝.∴EC＝，∴AE＝6－＝.答案 A6.如图，PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PO 交圆 O 于 B，C 两点，PA＝，PB＝1，则∠PAB 的大小为( )A.90° B.60° C.45° D.30°解析 连接 AO，PA 是圆 O 切线，A 为切点，∴∠PAO＝90°，∴AP2＋AO2＝PO2，即 3＋r2＝(1＋r)2⇒r＝1.由 AP＝，PO＝2，AO＝1 及∠PAO＝90°，可得∠POA＝60°，∴AB＝1，cos∠PAB＝＝.∴∠PAB＝30°.答案 D7.点 A，B，C 都在⊙O 上，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，若 AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段 AC 的长为( )A.B.C.D.解析 由切割线定理，得 CD2＝BD·AD.因为 CD＝6，AB＝5，则 36＝BD·(BD＋5)，即 BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)·(BD－4)＝0，所以 BD＝4.因为∠A＝∠BCD，∠D＝∠D，所以△ADC∽△CDB.于是＝，所以 AC＝·BC...
