第 3 章章末整合提升网络构建·理脉落知识整合·悟素养1．空间向量的加减运算(1)空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三维多向性，有许多概念的定义是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量．(2)空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的．2．空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的．(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向量共面．特别地，空间一点位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP＝x·AB＋y·AC.3．空间向量的数量积(1) 空 间 向 量 的 数 量 积 的 定 义 表 达 式 a·b ＝ |a|·|b|·cos 〈 a ， b 〉 及 其 变 式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝|a|2，a 在 b上的投影等．4．线面位置关系用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则 a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；② 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③ 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量将直线的方向向量线性表示．(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有① 证明直线的方向向量与平面的法向量平行；② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行① 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；② 转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直① 证明两个平面的法向量互相垂直；② 转化为线面垂直、线线垂直问题．5．空间角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为 n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，故 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.(2)求二面角的大小如图，设平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面 α，β 所成的锐二面角 θ，所以 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.(3)求斜线与平面所成的角如图，设平面 α 的法向量为 n1，斜线 OA 的方...
