第三章 统计案例章末复习提升课, 线性回归分析[问题展示] (选修 23 P101 复习参考题 A 组 T2)如果美国 10 家工业公司提供了以下数据：公司销售总额 x1/百万美元利润 x2/百万美元通用汽车126 9744 224福特96 9333 835埃克森86 6563 510IBM63 4383 758通用电气55 2643 939美孚50 9761 809菲利普·莫利斯39 0692 946克莱斯勒36 156359杜邦35 2092 480德士古32 4162 413(1)作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；(2)建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；(3)计算 R2，你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由．【解】 (1)将销售总额作为横轴 x，利润作为纵轴 y，根据表中数据绘制散点图如图．由于散点图中的样本点基本上在一个带状区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈线性相关关系．(2)由最小二乘法的计算公式，得a≈1 334.5，b≈0.026，则线性回归方程为y＝0.026x＋1 334.5.其残差值计算结果见下表：销售总额126 97496 93386 65663 43855 264利润4 2243 8353 5103 7583 939残差－411.824－19.758－77.556774.1121 167.636销售总额50 97639 06936 15635 20932 416利润1 8092 9463592 4802 413残差－850.876595.706－1 915.556230.066235.684(3)对于(2)中所建立的线性回归方程，R2≈0.457，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的 46%，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系．经分析预测，美国通用汽车等 10 家大公司的销售总额 xi(i＝1，2，…，10，单位：百万美元)与利润 yi(i＝1，2，…，10，单位：百万美元)的近似线性关系为y＝0.026x＋a，经（2）若通用汽车公司的销售总额 x1＝126 974（百万美元），残差＝－387，估计通用汽车的利润；（3）福特公司的销售总额为 96 933 百万美元，利润为 3 835，比较通用汽车与福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率说明了什么？,（以上答案精确到个位）得样本中心点为(62 309，2 930)，所以a＝2 930－0.026×62 309＝1 310.(2)由(1)知y＝0.026x＋1 310，当 x1＝126 974 时，y1＝0.026×126 974＋1 310≈4 611，所以 y1＝y1＋e1＝4 611＋(－387)＝4 224，估计通用汽车的利润为 4 224 百万美元．(3)由(1)(2)可得通用汽车利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为 R，则 R＝1－＝1－≈0....
