高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案（含解析）新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

第三章 统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用[目标] 1.了解随机误差、残差、残差分析的概念.2.会用残差分析判断线性回归模型的模拟效果.3.通过典型案例的探究，了解非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型的思想．[重点] 建立变量之间的线性回归方程，能根据散点图初步判断两个变量之间是否具有线性关系．[难点] 1.会求线性回归方程.2.掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型，特别是非线性回归模型．知识点一 线性回归模型[填一填]1．回归方程的相关计算对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．设其回归直线方程为 y＝bx＋a，其中 a，b 是待定参数，由最小二乘法得b ＝＝，a ＝－b .其中＝，＝，a ，b 分别是 a，b 的估计值．(，)称为样本点的中心．2．线性回归模型(1)线性回归模型其中 a，b 为未知参数，通常 e 为随机变量，称为随机误差．(2)x 称为解释变量，y 称为预报变量．[答一答]1．yi，y i，相同吗？试说明缘由．提示：不相同．yi是样本点(xi，yi)的纵坐标；是样本点的中心(，)的纵坐标；y i是 yi的估计值．2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值是否一定为真实值？提示：不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值．例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．3．线性回归方程能否用散点图中的某两点来确定？提示：不能用散点图中过某两点的直线方程来作为线性回归方程．由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函数 y＝bx＋a 描述它们之间的关系，因此用线性回归模型 y＝bx＋a＋e 来表示，其中 a，b 的最小二乘法估计分别为a ，b .知识点二 线性回归分析[填一填]1．残差对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的随机误差的估计值e i＝yi－y i称为相应于点(xi，yi)的残差，称为残差平方和．2．残差图利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，也可用其他测量值，这样作出的图形称为残差图．3．相关指数 R2＝1－，R2越接近于 1，表示回归效果越好．[答一答]4．有时散点图的各点并不集中在一条直线的附近，仍然可以按照求回归直线方程的步骤求回归直线，显然这样的回归直线没有实际意义．用残差能否判断建立的回归模型是否合理？提示：残差能对 x，y 的线性相关性进行检验．残差可...