1 有限域基础知识1.1 有限域（Galois 域）的构造令 p 为一个素数. 则对任意的一个正整数 n,存在一个特征为 p,元素个数为 pn 的有限域 GF(pn）.注：任意一个有限域,其元素的个数一定为 pn,其中 p 为一个素数（有限域的特征）,n 为一个正整数.例 1（有限域 GF(p）) 令 p 为一个素数,集合 GF(p）=Zp={0,1，2,…，p−1}。在 GF（p) 上定义加法 ⊕ 和乘法 ⊙ 分别为模 p 加法和模 p 乘法，即任意的 a，b∈GF（p)， a⊕b=(a+b）modp， a⊙b=(a⋅b）modp则 为一个有 p 个元素的有限域，其中零元素为 0，单位元为 1。令 a 为 GF(p) 中的一个非零元素。 由于 gcd（a,p）=1,因此，存在整数 b，c，使得 ab+pc=1。 由此得到 a 的逆元为 a−1=bmodp。域 GF（p) 称为一个素域(prime field)。例注 1： 给定 a 和 p，例 1 中的等式 ab+pc=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF（p） 中任意非零元素的逆元。例 2(有限域 GF（pn)) 从 GF（p) 出发，对任意正整数 n,n≥2,我们可以构造元素元素个数为 pn 的有限域 GF（pn) 如下： 令 g（x） 为一个 GF(p) 上次数为 n 的不可约多项式，集合 GF（pn)=GF（p）［x］/⟨g(x）⟩=｛a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1 ｜ ai∈GF（p),0≤i≤n−1｝在 GF(pn) 上定义加法 ⊕ 和乘法 ⊙ 分别为模 g（x) 加法和模 g（x） 乘法，即任意的 a(x）,b（x）∈GF（pn）， a(x)⊕b（x)=a（x）+b(x), a(x)⊙b（x）=(a(x）⋅b（x))modg（x)则
