不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义,性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质定义 1 假如 F(x）是区间 I 上的可导函数，并且对任意的 xI，有F’（x）=f（x）dx 则称 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数。定理 1（原函数存在定理）假如函数 f(x)在区间 I 上连续，那么 f（x)在区间 I 上一定有原函数，即存在可导函数 F（x)，使得 F（x）=f(x）（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理 2 设 F（x）是 f(x）在区间 I 上的一个原函数，则（1）F（x）+C 也是 f(x）在区间 I 上的原函数，其中 C 是任意函数；（2）f(x）在 I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义 2 设 F（x）是 f(x）在区间 I 上的一个原函数，那么 f(x）的全体原函数 F（x）+C称为 f(x)在区间 I 上的不定积分，记为f（x)d（x），即f(x）d（x）=F(x）+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f（x)d（x)称为被积表达式，x 称为积分变量,C 称为积分常数。性质 1 设函数 f(x)和 g（x)存在原函数，则[f(x）g（x)]dx=f(x)dxg（x)dx.性质 2 设函数 f（x）存在原函数,k 为非零常数,则kf(x）dx=kf（x）dx。二．换元积分法的定理假如不定积分g(x）dx 不容易直接求出，但被积函数可分解为 g（x)=f［(x）］ ’（x）.做变量代换 u=(x），并注意到‘(x）dx=d(x）,则可将变量 x 的积分转化成变量 u的积分，于是有g（x）dx=f[（x)] ’(x）dx=f（u）du。假如f（u）du 可以积出，则不定积分g(x)dx 的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分.定理 1 设 F（u)是 f（u）的一个原函数，u=（x)可导，则有换元公式f[（x)] '(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F［（x）］+C.第一类换元法是通过变量代换 u=(x)，将积分f［(x） '(x)dx 化为f（u)du。但有些积分需要用到形如 x=（t)的变量代换,将积分f（x)dx 化为f[（t）] ’(t）.在求出后一积分之后,再以 x=（t)的反函数 t=(X）带回去，这就是第二类换元法。即 f(x）dx=｛f[(t)] ’(t)dt}.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数 t=(x）存在的条件,给出下面的定理。定理 2 设 x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设 f［（t）］ ’（t)具有原函数 F（t）,则f（x）dx=f［（t）］ ’(t）dt=F（t...