2．3.1 椭圆的参数方程 [读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆＋＝1 的参数方程是,0≤t≤2π.中心在 M0(x0，y0)的椭圆＋＝1 的参数方程是 0≤t≤2π.[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆＋＝1 的参数方程是什么？提示：由得即参数方程为(0≤φ≤2π)．2．圆的参数方程中参数 θ 的意义与椭圆的参数方程中参数 φ 的意义相同吗？提示：圆的参数方程(0≤θ≤2π)中的参数 θ 是动点 M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(0≤φ≤2π)中的 φ 不是动点 M(x，y)的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半径 OA＝a(或 OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是 OM 的旋转角．利用椭圆的参数方程求最值[例 1] 已知椭圆＋＝1 有一内接矩形 ABCD，求矩形 ABCD 的最大面积．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出 A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知 B，C，D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．[精解详析] 椭圆方程为＋＝1，∴可设 A 点的坐标为(10cos α，8sin α)，则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|.∴S 矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. |sin 2α|≤1，∴矩形 ABCD 的最大面积为 160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；1(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数 x，y 满足＋＝1，求目标函数 z＝x－2φ 的最大值与最小值．解：椭圆＋＝1 的参数方程为 0≤φ≤2π.代入目标函数得z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0).所以 zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程求轨迹方程[例 2] 由椭圆＋＝1 上的点 M 向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 N，设 P是 MN 的中点，求点 P 的轨迹方程．[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即 M 点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出 P 的坐标即可求得轨迹．[精解详析] 椭圆＋＝1 的参数方程为(0≤θ≤2π)，∴设 M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)，∴消去 θ，得＋＝1，表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆．利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用 θ 表示点的坐标，再利用 sin2θ＋cos 2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用...
