第 1 课时 椭圆的参数方程[核心必知]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆＋＝1 的参数方程是(φ 是参数)，规定参数 φ 的取值范围是[0 ， 2π ) ．[问题思考]1．中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆＋＝1 的参数方程是什么？提示：由得即参数方程为(φ 为参数)．2．圆的参数方程中参数 θ 的意义与椭圆的参数方程中参数 φ 的意义相同吗？提示：圆的参数方程： ( θ 为参数 ) 中的参数 θ 是动点 M ( x ， y ) 的旋转角 ， 但在椭圆的 参数方程 ( φ 为参数 ) 中的参数 φ 不是动点 M ( x ， y ) 的旋转角 ， 它是点 M 所对应的圆的半径 OA ＝ a ( 或 OB ＝ b ) 的旋转角 ， 称为离心角 ， 不是 OM 的旋转角． 已知椭圆＋＝1 有一内接矩形 ABCD，求矩形 ABCD 的最大面积．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出 A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知 B、C、D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式． 椭圆方程为＋＝1，∴可设 A 点的坐标为(10cos α，8sin α)．则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|，∴S 矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. |sin 2α|≤1，∴矩形 ABCD 的最大面积为 160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数 x，y 满足＋＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大值与最小值．解：椭圆＋＝1 的参数方程为(φ 为参数)．代入目标函数得z＝5cos φ－8sin φ＝cos (φ＋φ0)＝cos (φ＋φ0)(tan φ0＝)．所以目标函数 zmin＝－，zmax＝. 已知 A，B 分别是椭圆＋＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即 C 点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心 G 的坐标即可求得轨迹．由题意知 A(6，0)、B(0，3)．由于动点 C 在椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数 θ 得到＋(y－1)2＝1.利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用 θ 表示点的坐标，再利用 sin2θ＋cos2θ＝1 进行消参，本题的解决...
