第 4 节 渐开线与摆线[核心必知]1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：( φ 为参数 ) ．(2)摆线的参数方程：( φ 为参数 ) ．[问题思考]1．渐开线方程中，字母 r 和参数 φ 的几何意义是什么？提示：字母 r 是指基圆的半径 ， 参数 φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆 心的张角．2．摆线的参数方程中，字母 r 和参数 φ 的几何意义是什么？提示：字母 r 是指定圆的半径 ， 参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角 度大小． 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线定义，弧AM0的长和线段 AM 的长相等，记和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0＝4θ作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)，由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又＝(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程．解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)．(2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．基圆直径为 10，求其渐开线的参数方程．解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的夹角． 直径为 10，∴半径 r＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：这就是所求的圆的渐开线的参数方...
