2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例 1】袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量 ξ 是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以 ξ 的可能值为 1，2，3，4，5，易知：P（ξ=1）= 51 =0.2,P(ξ=2)= 54 · 41 =0.2,P(ξ=3)= 54 · 43 · 31 =0.2,P(ξ=4)= 54 · 43 · 32 · 21 =0.2,P(ξ=5)= 54 · 43 · 32 · 21 ·1=0.2,∴所求 ξ 的概率分布为ξ12345P0.20.20.20.20.2∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,Dξ=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2+(5-3)2×0.2=2.温馨提示 求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式：Dη=Eη2-(Eη)2求.二、离散型随机变量的方差的作用【例 2】A、B 两台测量仪器测量一长度为 120 mm 的工件时分布列如下：A：1181191201211220.060.140.600.150.05B：1181191201211220.090.150.520.160.08试比较两种仪器的优劣.解析：设随机变量 ξ1表示用 A 仪器测量此产品长度的数值，随机变量 ξ2表示用 B 仪器测量此产品长度的数值，从而有Eξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99,Dξ1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0.729 9,Eξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99,Dξ2=(118-119.99)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.99)2×0.52+(121-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.989 9，由此可知，Eξ1=Eξ2,Dξ1
