2.4 正态分布课堂导学三点剖析一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率【例 1】设测量一条道路长度的误差 x（单位：m)服从正态分布 N（-5，202），求：（1）误差的绝对值不超过 30 m 的概率；（2）测得的长度小于道路真实长度的概率；（3）测得的长度比道路真实长度大 35 m 的概率.（查表，可得 Φ（1.75）=0.959 94,Φ(1.25)=0.894 4,Φ(2)=0.977 2,Φ(0.25)=0.598 7)解析：（1）P(|x|≤30)=P(-30≤x≤30)=Φ(20)5(30)-Φ(20)5(30)=Φ(1.75)-Φ(-1.25)=Φ(1.75)+Φ(1.25)-1=0.854 34.(2)由误差的定义：测量值=真实值+误差.可见，题意要求的概率为 P（x<0）=Φ（20)5(35）=Φ(0.25)=0.598 7.(3)题意要求的概率为 P（x>35）=1-P(x≤35)=1-Φ(20)5(35)=1-Φ(2)=0.022 8.温馨提示 求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布.二、利用正态曲线的性质解题【例 2】设任一正态总体 N（μ,σ2）中取值小于 x 的概率为 F（x)，标准正态总体 N（0，1）中，取值小于 x0的概率为 Φ（x0）.(1)证明 F（x)可化为 Φ（x0）计算.（2）利用正态曲线的性质说明：当 x 取何值时，正态总体 N（μ,σ2）相应的函数 f(x)= 222)(21 xe(x∈R)有最大值，其最大值是多少？（1）证明：由正态总体 N（μ,σ）的概率密度函数可知 F(x)=Φ（x），即 x0=x.(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知，正态总体 N（μ,σ2）的概率密度函数 f(x)在x=μ 时，取到最大值21.温馨提示 注意正态曲线中 μ,σ 的几何意义.三、小概率事件【例 3】某厂生产的圆柱形零件的外直径 ξ 服从正态分布 N（4,0.25），如果一批产品的合格率达到 99.7%以上就认为这批产品是合格的.质检人员从该厂生产的 1 000 件零件中随机抽取一件，测得它的外直径为 5.7 cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析：要说明这批零件是否合格，就是要说明从这批零件中随机地取出一件，其尺寸是否落在规定的范围内.由正态分布的性质知，总体中个体取值的概率为 99.7%所对应的区间为（μ-3σ,μ+3σ）,故只需判断 5.7 是否属于该区间即可.1解： ξ~N（4，0.25），由正态分布的性质知，ξ 的取值落在区间（μ-3σ,μ+3σ）之内的概率为 99.7%.由于 μ=4,σ=0.5,∴μ-3σ=4-3×0.5=2.5,μ+3σ=4+3×0.5=5.5, 即 合 格 品 的 产 品 尺 寸 的 取 值 范 围 是（2.5,5.5）. ...
