2．1 柯西不等式[读教材·填要点]1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理 1(柯西不等式的代数形式)设 a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2) 2 .上式等号成立⇔a1b2＝ a 2b1.(2)定理 2(柯西不等式的向量形式)设 α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥| α · β | 上式中等号成立⇔向量 α 和 β 共线 ( 平行 ) ⇔存在实数 λ ≠0 ，使得 α ＝ λ β .(3)定理 3：设 a1，a2，b1，b2为实数，则＋≥ 等号成立⇔存在非负实数 μ 及 λ，使得μa1＝ λb 1，μa2＝ λb 2.(4)定理 4(平面三角不等式)设 a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则＋≥ .等号成立⇔存在非负实数 λ 及 μ 使得：μ ( a 1－ b 1) ＝ λ ( b 1－ c 1)，μ ( a 2－ b 2) ＝ λ ( b 2－ c 2) ． (5)定理 5：设 α，β，γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|当 α－β，β－γ 为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数 λ，使得 α － β ＝ λ ( β － γ ) ⇔向量 α－β 与 β－γ 同向，即夹角为零．2．柯西不等式的一般形式定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)12 (b＋b＋…＋b)12 ≥| a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn|，其中等号成立⇔＝＝…＝(当某 b j＝ 0 时，认为 a j＝ 0 ， j ＝ 1,2 ，…， n )[小问题·大思维]1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？提示：不可以．当 a2·b2＝0 时，柯西不等式成立，但＝不成立．2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成 ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧 ai，bi的顺序一致．3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若 bi＝0 而 ai≠0，则 k 不存在．1利用平面上的柯西不等式证明有关不等式[例 1] 已知 a，b，c 为正数，且满足 acos2θ＋bsin2 θ
