2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理 3、定理 4、定理 5 等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理 3、定理 4、定理 5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.自学导引1.若 a1，a2，b1，b2∈R，则(a＋a)(b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2) 2 ，等号成立⇔a1b2＝ a 2b1.2.设 α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号成立⇔α 与 β 共线 ⇔α＝ λ β ( λ ≠0) ；|α|＋|β|≥| α ＋ β | ，等号成立的条件为〈 α ， β 〉＝ 0 或 α 与 β 同向或 α ＝ λ β ( λ >0) .3.设 a1，a2，b1，b2 为实数，则＋≥，等号成立⇔存在非负实数 μ 及 λ ，使得 μa 1＝λb1， μa 2＝ λb 2.4.设平面上三点坐标为 A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则＋≥，其几何意义为：| AB | ＋ | BC |≥| AC | .5.设 α，β，γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥| α － γ | ，等号成立的充要条件为α － β ＝ λ ( β － γ ) __( λ >0) .基础自测1.已知 a，b∈R*且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2与 Q＝ax2＋by2的关系是( )A.P≤Q B.PQ解析 P＝(ax＋by)2＝[(x)＋(y)]2≤(ax2＋by2)(a＋b)＝ax2＋by2＝Q∴P≤Q，选 A.答案 A12.下列说法：① 二维形式的柯西不等式中 a，b，c，d 没有取值限制.② 二维形式的柯西不等式中 a，b，c，d 只能取数，不能为代数式.③ 柯西不等式的向量式中取等号的条件是 α＝β.④ 柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.其中正确的个数有( )A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d 是实数，没有其取值限制.答案 A3.设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得 25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案 知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 已知 3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.证明 由于 2x＋y＝(x)＋(y).由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤×6＝×6＝11，∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.●反思感悟：柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2⇔ ≥|a1b1＋a2b2|，应用时关键是对已知条件...
