高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示知识导航学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理一、平面向量基本定理如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1和 λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2，其中的不共线的向量 e1和 e2叫做这个平面内所有向量的一组基底.二、向量的夹角两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.三、平面向量的正交分解、向量的坐标及坐标运算1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.向量的坐标平面内的任意向量 a 都可以由 x、y 唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量 a 的直角坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫做向量 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做向量 a 在 y 轴上的坐标.3.和与差的坐标运算两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).已知向量 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则 a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).4.实数与向量积的运算实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.已知向量 a=(x1,y1),则 λa=(λx1,λy1).5.向量的坐标与端点坐标的换算一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则=(x2-x1,y2-y1).四、平面向量共线的坐标表示设 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b≠0），当且仅当 x1y2-x2y1=0 时，向量 a、b 共线.知识导学 要学好本节内容，可通过探究活动分析向量 e1、e2可能的位置，区分出共线、不共线两种情况。在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.平面向量基本定理是平面向量的核心内容之一.通过理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，根据向量的坐标，判断向量是否共线.疑难突破1.平面向量基本定理.剖析：(1)设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任意向量，则 a能用 e1和 e2来线性表示(存在性).图 2-3-1如图 2-3-1，在平面内任取一点 O，作=e2，=e1，=a.过点 C 作平行于直线的直线，与直线交于点 N；过点 C 作平行于直线的直线，与直线交于点 M.由向量的线性运算性质可知存在实数 λ1和 λ2，使得=λ1=λ1e1，=λ2=λ2e2. =+=+=λ1e1+λ2e2.也就是说，任一向量都可以表示成 λ1e1+λ2e2的形式.(2)上述线性组合的表示是唯一的，即实数 λ1和 λ2唯一确定(唯一性).若存在 λ1,λ2,μ1,μ2∈R，且 a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2，则 λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1)e...