高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一 平面向量基本定理思考 1 如果 e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与 e1，e2在同一平面内的任一向量 a 能否用 e1，e2表示？依据是什么？答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考 2 如果 e1，e2是共线向量，那么向量 a 能否用 e1，e2表示？为什么？答案 不一定，当 a 与 e1共线时可以表示，否则不能表示.梳理 (1)平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二 两向量的夹角与垂直思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案 存在夹角，不一样.思考 2 △ABC 为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？答案 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD，则BD＝a， △ABC 为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量 a 与 b 的夹角为 120°.梳 理 (1) 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b ， 作 OA ＝ a ， OB ＝ b ， 则 ∠ AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示). 当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向 . (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.类型一 对基底概念的理解例 1 如果 e1，e2是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量；② 对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③ 若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④ 若存在实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.A.①② B.②③ C.③④ D.②答案 B解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的...