高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3.4 平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点 平面向量共线的坐标表示已知下列几组向量：(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；(4)a＝(，1)，b＝(－，－1).思考 1 上面几组向量中，a，b 有什么关系？答案 (1)(2)中 b＝2a，(3)中 b＝－3a，(4)中 b＝－a.思考 2 以上几组向量中，a，b 共线吗？答案 共线.思考 3 当 a∥b 时，a，b 的坐标成比例吗？答案 坐标不为 0 时成正比例.思考 4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案 能.将 b 写成 λa 形式，λ>0 时，b 与 a 同向，λ<0 时，b 与 a 反向.梳理 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，a，b 共线，当且仅当存在实数 λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 x1y2－ x 2y1＝ 0 时，向量a，b(b≠0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成 x1y1－x2y2＝0 或 x1x2－y1y2＝0 都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一 向量共线的判定与证明例 1 (1)下列各组向量中，共线的是( )A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)B.a＝(2，3)，b＝(3，2)C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)答案 D解析 A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a 与 b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与 b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与 b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选 D.(2)已知 A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，CD＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6).方法一 (－2)×(－6)－3×4＝0 且(－2)×4<0，∴AB与CD共线且方向相反.方法二 CD＝－2AB，∴AB与CD共线且方向相反.反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练 1 已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明 设 E(x1，y1)，F(x2，y2). AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)，AB＝(4，－1)，∴AE＝AC＝(，)，...