2．3.4 平面向量共线的坐标表示[目标] 1.记住两个向量共线的坐标表示． 2.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题．[重点] 向量共线的坐标表示．[难点] 向量共线的坐标表示的应用．知识点 两个向量共线的坐标表示 [填一填](1)向量 a，b 共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)向量共线的坐标表示的推导① 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为 a∥b⇔( x 1， y 1) ＝ λ ( x 2， y 2)，即 a∥b⇔⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .② 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0 时，a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .综上①②，向量共线的坐标表示为 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .[答一答]1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明 b≠0 吗？提示：在共线向量定理中 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明 b≠0，而在“本问”中当 b＝0时也成立，故不需注明 b≠0.2．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．3．若向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当 x＝2 时，a 与 b 共线，且方向相同．解析： a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，∴x2－4＝0，∴x＝±2，当 x＝－2 时，a 与 b 方向相反．∴当 x＝2 时，a 与 b 共线且方向相同．类型一 向量共线的坐标表示 [例 1] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[分析] 先计算出 ka＋b 与 a－3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求 k，再根据符号确定方向．[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，又(ka＋b)∥(a－3b)，故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－.这时 ka＋b＝，且 a－3b 与－a＋b 的对应坐标异号，故当 k＝－时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b 共线．对条件的理解有两方面的含义：由 x1y2－x2y1＝0，可判定 a，b 共线；反之，若 a，b 共线，则x1y2－x2y1＝0.[变式训练 1] (1)设向量 a＝(2,4)与向量 b＝(x,6)共线，则实...
