高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

2.1.2 求曲线的方程学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 知识点一 坐标法的思想思考 1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考 2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？答案 不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：① 通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程 . ② 通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质 . 知识点二 求曲线的方程的步骤类型一 直接法求曲线的方程例 1 一个动点 P 到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2，0)的距离的 2 倍.求动点 P 的轨迹方程.解 设 P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2，化简，得 3x2＋4y2＝48，故动点 P 的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点 P 的轨迹方程.解 据题设 P(x，y)，则 P 到直线 y＝8 的距离 d＝|y－8|，又|PA|＝，故|y－8|＝2，化简，得 4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点 P 的轨迹方程为 4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练 1 已知两点 M(－1，0)，N(1，0)，且点 P 使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列.求点 P 的轨迹方程.解 设点 P(x，y)，由 M(－1，0)，N(1，0)，得PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2，0).∴MP·MN＝2(x＋1)，PM·PN＝x2＋y2－1，NM·NP＝2(1－x).于是，MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列等价于即∴点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝3(x>0).类型二 代入法求解曲线的方程例 2 动点 M 在曲线 x2＋y2＝1 上移动...