高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课堂导学三点剖析一、利用五步法求曲线的方程 求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单. 根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点 M 有关的相等关系,结合基本公式列出等式，并进行化简.【例 1】 设 A、B 两点的坐标分别是(1，0)、(-1，0)，若 kMA·ｋＭＢ＝－１，求动点 M 的轨迹方程.解析:设 M 的坐标为(x，y)，M 属于集合 P=｛Ｍ｜ｋＭＡ·ｋＭＢ＝－１｝.由斜率公式，点 M 所适合的条件可表示为1xy·1xy=-1(x≠±1)，整理后得 x2+y2=1(x≠±1).下面证明 x2+y2=1(x≠±1)是点 M 的轨迹方程.(1)由求方程的过程可知，M 的坐标都是方程 x2+y2=1(x≠±1)的解；(2)设点 M1的坐标(x1，y1)是方程 x2+y2=1(x≠±1)的解，即 x12+y12=1(x1≠±1)，y12=1-x12(x1≠±1)，111xy·111xy=-1，∴k Ｍ 1 Ａ·ｋＭ 1 Ｂ＝－１.由上述证明可知，方程 x2+y2=1(x≠±1)是点 M 的轨迹方程.温馨提示 (1)所求的方程 x2＋y2＝１后面应加上条件ｘ≠±１. (2)证明可以省略不写.二、坐标法在平面几何中的应用【例 2】用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和.证明:如右图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设 P（x，y）为任意点，矩形四个顶点为 A(x1，y1)、C(x2，y2)、B(x1，y2)、D(x2，y1)，则有｜PA｜2+｜PC｜2=（x1-x）2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2，｜PB｜2+｜PD｜2=(x1-x)2+(y2-y)2+(x2-x)2+(y1-y)2.∴｜PA｜2+｜PC｜2=｜PB｜2+｜PD｜2.温馨提示 在上述证明中，若选取矩形的邻边 AB、BC 所在直线分别为 y 轴和 x 轴，那么矩形的四个顶点坐标为 A(0，y1)，B(0，0)，C(x1，0)，D(x1，y1),这样数据更简单，运算更简便了.因此用坐标法解题，坐标系选取得适当，可以简化运算过程.三、求曲线方程的常用方法【例 3】 过抛物线 y2=4x 的顶点 O 作相互垂直的弦 OA、OB，求抛物线顶点 O 在 AB 上的影射 M 的1轨迹方程.解析:设 A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得 kAB=2121xxyy=214yy ，∴直线 AB 的方程 lAB∶y-y1=214yy （x-x1...