2．1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之和|PA|＋|PB|＝2a (a>0 且 a 为常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，且 A、B 是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析 若 P 点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且 a 为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且 a 为常数)，不能推出 P 点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当 2a>|AB|时，P 点的轨迹是椭圆；而当 2a＝|AB|时，P 点的轨迹是线段 AB；当 2a<|AB|时，P 点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于定长 ( 大于 | F 1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝1 (a>b>0)＋＝1 (a>b>0)焦点( － c, 0)( c, 0) (0 ，－ c )(0 ， c ) a、b、c 的关系c 2 ＝ a 2 － b 2 c 2 ＝ a 2 － b 2 要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程例 1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝＋＝2，所以 a＝.又因为 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 设标准方程为＋＝1 (a>b>0)．依题意得，解得.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)． 椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴ 则∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当椭圆的焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)． 椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴ 则即与 a>b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.方法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)． 椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴ ∴综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.规律方法 ...
