2.1.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例 1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和是 10；(2)两个焦点的坐标是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点(25,23).解析：(1) 椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为2222byax =1(a＞b＞0).∴2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.∴b2=a2-c2=52-42=9.∴所求椭圆的标准方程为92522yx =1.(2) 椭圆的焦点在 y 轴上，∴设它的标准方程为2222bxay =1(a＞b＞0).由椭圆的定义知，2a=,102)225()23()225()23(2222∴a= 10 .又 c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6.∴所求椭圆的标准方程为61022xy =1.温馨提示求椭圆的标准方程就是求 a2及 b2(a＞b＞0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为2222byax =1;当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为2222bxay =1.二、应用椭圆的定义解题【例 2】 一动圆与已知圆 O1：(x+3)2+y2=1 外切与圆 O2：(x-3)2+y2=81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析：两定圆的圆心、半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为 M(x,y)，半径为 R由题设条件知：｜MO1｜=1+R，｜MO2｜=9-R∴｜MO1｜+｜MO2｜=101由椭圆的定义知：M 在以 O1，O2为焦点的椭圆上，且 a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为162522yx =1温馨提示两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例 3】 椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点为(0，2)，则 k=________.解析：将椭圆方程化为标准方程可得 x2+ky52=1，由一个焦点为(0，2)知，a2=k5 ,b2=1 且 a2-b2=c2,即 k5 -1=4 得 k=1温馨提示将椭圆方程化为标准形式可得 x2+ky52=1,由其中一个焦点为(0，2)可确定 a2-b2，通过a,b,c 之间的关系确定 k 的值.各个击破类题演练 1求经过两点 P1(31,31),P2(0,- 21 )的椭圆的标准方程解法一：因为焦点位置不确定，故可考虑两种情形.(1)焦点在 x 轴上时：设椭圆的方程为2222byax =1(a＞b＞0).依题意知.41,51,1)21(,1)31()31(22222222babba解得 4151 ,∴方程组无解.(2)焦点在 y 轴上时：设椭圆的方程为2222bxay =1(a＞b＞0).2依题意可得.51,41,1)21(,1)31()31(22222...
