等差数列的前 n 项和【思维导图】【微试题】1. 已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点 P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为 ( )A．4 B. C．－4 D．－【答案】A 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1=2，S3=12，则 a6等于（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 14【答案】C3. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且＝，则使得为整数的正整数 n 的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D4. (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.【答案】（1）当 n＝12 或 13 时，Sn取得最大值，且最大值为 130；（2）Tn＝【解析】解：(1)方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a 13＝0，即当 n≤12 时， an>0，n≥14 时，an<0，∴当 n＝12 或 13 时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×＝130.方法二 同方法一求得 d＝－.∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为 S12＝S13＝130.方法三 同方法一得 d＝－.又由 S10＝S15得 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当 n＝12 或 13 时，Sn有最大值.且最大值为 S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又 a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21 为首项，以 4 为公差的递增的等差数列.令 由①得 n<6；由②得 n≥5，所以 n＝6.即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项，公差为－4 的等差数列，从第 7 项起以 后各项构成公差为 4 的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.则 Tn＝＝
