2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图.思考 1 如何计算这个力所做的功？答案 W＝|F||s|cos θ.思考 2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理 条件非零向量 a 与 b，a 与 b 的夹角为 θ结论数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)记法向量 a 与 b 的数量积记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ规定零向量与任一向量的数量积为 0知识点二 平面向量数量积的几何意义思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 上的投影？什么叫做向量 a 在向量 b 上的投影？答案 如图所示，OA＝a，OB＝b，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.思考 2 向量 b 在向量 a 上的投影与向量 a 在向量 b 上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同.梳理 (1)条件：向量 a 与 b 的夹角为 θ.(2)投影：向量 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ向量 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ(3)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.知识点三 平面向量数量积的性质思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定.当 0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数.当 θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当 90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.梳理 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 θ，(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当 a∥b 时，a·b＝(3)a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.类型一 求两向量的数量积例 1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与b 的数量积.解 (1)a∥b，若 a ...
