高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质（二）教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学教学案VIP专享

2．1.2 椭圆的几何性质(二)[学习目标] 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．[知识链接]已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案 直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的根的判别式来判断．Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；Δ<0⇔直线和椭圆相离．[预习导引]1．点 P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点 P 在椭圆上⇔＋＝1；点 P 在椭圆内⇔＋<1；点 P 在椭圆外⇔＋>1.2．直线与椭圆的位置关系直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消 y 得到一个关于 x 的一元二次方程，再依据下表判断．位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<03.弦长公式设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝，∴|AB|＝＝＝，或|AB|＝＝＝.其中，x1＋x2，x1x2或 y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到的关于 x(或 y)的一元二次方程求得．要点一 直线与椭圆的位置关系例 1 在椭圆＋＝1 上求一点 P，使它到直线 l：3x－2y－16＝0 的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得 4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为 y＝x＋4 和 y＝x－4，由图可知 y＝x－4 距 l 最近，故最短距离 d＝＝，P 点为切点，即 P.规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪演练 1 已知椭圆＋＝1，直线 l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线 l的距离最小？最小距离是多少？解 如图，由直线 l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线 l 与椭圆不相交．设直线 m 平行于直线 l，则直线 m 的方程可以写成 4x－5y＋k＝0.①由方程组消去 y，得 25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式 Δ＝0，...