2．1.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．[知识链接]观察椭圆＋＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出 x 和 y 的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？答案 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．[预习导引]1．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－ a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b ，－ a ≤ y ≤ a 顶点A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) ，B1(0 ，－ b ) ， B 2(0 ， b ) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) ，B1( － b, 0) ， B 2( b, 0) 轴长长轴长＝2 a ，短轴长＝2 b 焦点(±，0)(0，±)焦距2c＝|F1F2|＝2对称性对称轴：x 轴、 y 轴 对称中心：原点离心率e＝∈(0,1)2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近 1 ，则椭圆越扁；椭圆离心率越接近 0 ，则椭圆越接近于圆.要点一 椭圆的几何性质例 1 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 已知方程化成标准方程为＋＝1，于是 a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 e＝＝，又知焦点在 x 轴上，∴两个焦点坐标分别是 F1(－，0)和 F2(，0)，四个顶点坐标分别是 A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和 B2(0,3)．规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据标准方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪演练 1 求椭圆 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为＋＝1. m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a＝，短半轴长 b＝，半焦距 c＝.∴椭圆的长轴长 2a＝，短轴长 2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)．离心率 e＝＝＝.要点二 由椭圆的几何性质求方程例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为，焦距为 8.(2)短轴一个端点与两...
