高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质（一）课堂导学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案

2.1.2 椭圆的几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例 1】 已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m＞0)的离心率 e=23 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：322mmymx=1 03)2(3mmmmmm ∴m＞3mm即 a2=m,b2=3mm,c=3)2(22mmmba由 e=233223mm得 ∴m=1∴椭圆的标准方程为.14122 yx∴a=1 b=21 c=.23∴椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，两焦点坐标分别为 F1(-23 ，0)，F2(23 ，0)，四个顶点分别为 A1(-1，0) A2(1，0) B1(0，- 21 ) B2(0， 21 ).二、求椭圆的离心率【例 2】在 Rt△ABC 中，AB=AC=1.如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在 AB 上，则这个椭圆的离心率为( )A.36 B.2 -1C.236D.263 解析：设另一个焦点为 C′，则有AC+AC′=2a,BC+BC′=2a,又 BC=2，BC′=1-AC′，1∴,212,21aCAaCA解得 AC′=22 ，a=422 ,,462211222CAACc∴离心率 e=36 ac,故选 A.答案：A温馨提示本题运用椭圆的定义、离心率公式先列出关于某些特征量的方程组，然后通过解方程求出这些特征量，最后求出离心率的值，这是解圆锥曲线问题的常用方法.三、离心率的应用【例 3】 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cos∠OFA= 32 ,求椭圆的方程.解析： 椭圆的长轴长是 6,cos∠OFA= 32 ,∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点).∴|OF|=c,|AF|=a=3,∴323 c.∴c=2,b2=32-22=5.∴椭圆的方程是.1951592222yxyx或温馨提示△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为 b、c,斜边的长为 a,∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练 1求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解：把已知方程化成标准方程：252y+x2=1,这里 a=5,b=1,所以 c=125=26 .因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=2,两个焦点分别是 F1(0，-26 )、F2(0，26 )，椭圆的四个顶点是 A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和 B2(1，0).变式提升 12已知点 P(3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据 P 点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标(P 点除外)？这几个点的坐标是什么？解：根据椭圆关于两坐标轴对称及 P 点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标.这三个点的坐标分别是...