第 1 课时 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝a，b，c 间的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.答案 (1)的实半轴长 1，虚半轴长 1(2)的实半轴长，虚半轴长.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为.(1)双曲线－＝1 与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)(2)双曲线－＝1 与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(×)(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一 双曲线的性质例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线解 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在 x 轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x.引申探究求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长 a＝，虚半轴长 b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率 e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为 y＝±x，即 y＝±x.反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题...
