高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案（含解析）新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.知识点一 坐标法的思想1．坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．2．解析几何研究的主要问题：(1)通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二 求曲线的方程的步骤1．建系：建立适当的坐标系，用有序实数对 ( x ， y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标．2．写集合：写出适合条件 p 的点 M 的集合 P ＝ { M | p ( M )} ． 3．列方程：用坐标表示条件 p ( M ) ，列出方程 F ( x ， y ) ＝ 0 .4．化简：化方程 F ( x ， y ) ＝ 0 为最简形式．5．结论：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．1．求曲线方程的关键是建立坐标系，而坐标系的建立通常是唯一的．( × )2．求曲线方程的步骤不可以省略．( × )3．按照求曲线方程的步骤求出的曲线方程不用检验．( × )题型一 直接法求曲线的方程例 1 一个动点 P 到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍．求动点 P 的轨迹方程．解 设 P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2，化简，得 3x2＋4y2＝48，故动点 P 的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.引申探究若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点 P 的轨迹方程．解 设 P(x，y)，则 P 到直线 y＝8 的距离 d＝|y－8|，又|PA|＝，故|y－8|＝2，化简，得 4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点 P 的轨迹方程为 4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练 1 已知在 Rt△ABC 中，角 C 为直角，点 A(－1,0)，点 B(1,0)，求满足条件的点 C的轨迹方程．解 如图，设 C(x，y)，则AC＝(x＋1，y)，BC＝(x－1，y)． ∠C 为直角，∴AC⊥BC，即AC·BC＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得 x2＋y2＝1. A，B，C 三点要构成三角形，∴A，B，C ...