高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质课堂导学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案

2.3.2 抛物线的几何性质课堂导学三点剖析一、利用抛物线定义求最值【例 1】 在抛物线 x2=8y 上求一点 P，使得 P 点到焦点的距离与 P 点到定点 A(1，3)的距离之和最小，并求出这个最小距离.解析：过 A 作直线 l 与准线垂直交于点 A′，与抛物线交于点 P，则 P 点即为所求.将 P(1，y)代入 x2=8y 中，则 y= 81 ，于是点 P 的坐标为(1, 81 )，且最小距离 d=5.温馨提示此题解法中将点 P 到焦点 F 与点 A 的最小距离，转化为线段 AA′的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到.二、焦点弦问题【例 2】 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的弦长为 36，求弦所在的直线方程.思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为 36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为 0.解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为 k，且与抛物线交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点. 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1，0)，∴直线方程为 y=k(x-1).由,4)1(2xyxky整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.∴x1+x2=2242kk .∴｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=x1+x2+2=2242kk +2.又｜AB｜=36，∴2242kk +2=36,解得 k2=81 ,即 k=±42 .1∴所求直线方程为 y=42 (x-1)或 y=-42 (x-1).温馨提示(1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出 k，但是计算复杂，一般不采用.(2)也可以利用弦长公式｜AB｜=21k｜x1-x2｜来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到｜AB｜=x1+x2+p,解起来更简捷.三、直线与抛物线的位置关系【例 3】 直线 l：y=kx+1,抛物线 C：y2=4x，当 k 为何值时 l 与 C 有(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析：将 l 和 C 的方程联立,412xykxy消去 y，得 k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当 k=0 时，方程(*)只有一个解 x= 41 ,∴y=1.∴直线 l 与 C 只有一个公共点( 41 ，1)，此时直线 l 平行于对称轴.当 k≠0 时，方程(*)是一个一元二次方程.(1)当 Δ＞0，即 k＜1,且 k≠0 时，l 与 C 有两个公点，此时称直线 l 与 C 相交；(2)当 Δ=0，即 k=1 时，l 与 C 有一个公共点，此时称直线 l 与 C 相切；(3)当 Δ＜0,即 k＞1 时，l 与 C 没有公共点，此时称直线 l 与 C 相离.综上所述，可知：当 k=1 或 k=0...