2.5 平面向量应用举例（第 1 课时）预习导航课程目标学习脉络1.会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度问题．2．掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．思考平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②证明直线或线段垂直；③线段平行或涉及共线问题；④求夹角问题．对于上述问题，利用向量的方法如何解决？提示：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0，且 b≠0)，a 与 b 的夹角为 θ.① 求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a|＝；② 证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；③ 线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0；④ 求夹角问题，常利用向量的夹角公式：cos θ＝＝.特别提醒向量法解决几何问题的两个方向(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．
