2.3.2 双曲线的简单几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例 1】求双曲线 16x2-9y2=-144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解:把方程 16x2-9y2=-144 化为标准方程222234xy=1,由此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3,c=22ba =5.焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率 e=45ac;顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为 y=± 34 .温馨提示 双曲线2222byax=1(a＞0，b＞0)的渐近线为 y=±ab x,双曲线2222bxay=1 的渐近线为x=± ab y,即 y=± ba x，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.二、双曲线的离心率【例 2】双曲线2222byax=1(a＞1,b＞0)的焦距为 2c,直线 l 过点（a,0）和(0,b)，且点(1,0)到直线 l 的距离与点（-1，0）到直线 l 的距离之和 s≥ 54 c.求双曲线的离心率 e 的取值范围.解:直线 l 的方程为byax =1，即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（1，0）到直线 l 的距离 d1=22)1(baab.同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离：d2=22)1(baab,s=d1+d2=222baab=cab2.由 s≥ 54 c,得 cab2≥ 54 c,即 5a22ac ≥2c2.于是得 512 e≥2e2,即 4e4-25e3+25≤0.1解不等式，得 45 ≤e2≤5.由于 e＞1＞0,所以 e 的取值范围是25 ≤e≤ 5 .温馨提示 本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想.本题主要考查了点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及同学们的综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例 3】 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点.（1）若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值；(2)是否存在这样的实数 a，使 A、B 两点关于直线 y= 21 ｘ对称?若存在，请求出 a 的值;若不存在，请说明理由.解:(1)由13,122yxaxy消去 y,得（3－a2）x2－2ax－2=0.①依题意,0,032a即－6 ＜a＜6 且ａ≠±３.②设 A(ｘ 1，ｙ 1），Ｂ（ｘ 2，ｙ 2）,则)4(.2)3(,32221221aaxxaaxx 以 AB 为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴ｘ 1ｘ 2＋ｙ 1ｙ 2＝０.但 y1y2＝ａ 2ｘ 1ｘ 2＋ａ（ｘ 1＋ｘ 2）＋１,由③④,x1+x2＝232aa，ｘ 1ｘ 2＝232a.∴（a2+1）·232a＋ａ·232aa+1＝０.解得ａ＝±１且满足②.(2)假设存在实数 a，使 A、B 关于ｙ＝ 21 ｘ对称，则直线 y=ax+1 与 y＝...
