高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案 (1)有限制，因为≥1，即 x2≥a2，所以 x≥a 或 x≤－a.(2)关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.梳理 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求 x∈( －∞，－ a ]∪[ a ，＋∞ ) ，y∈R.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求 x∈R，y∈( －∞，－ a ]∪[ a ，＋∞ ) .(2)双曲线的对称轴为 x 轴、 y 轴 ，对称中心为原点.知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.梳理 双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为( － a ， 0) ，( a ， 0) ；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为(0 ，－ a ) ，(0 ， a ) .知识点三 渐近线与离心率思考 1 能否和椭圆一样，用 a，b 表示双曲线的离心率？答案 能，离心率 e＝＝＝.思考 2 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？答案 有影响，因为 e＝＝＝，故当的值越大，渐近线 y＝x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.梳理 (1)渐近线：直线 y ＝ ± x 叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线.(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用 e 表示(e>1).(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a 或 x≤－ay≤－a 或 y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y ＝...