高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质学案（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案VIP专享

2．3.2 双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线 C1的方程：－＝1.问题 1：双曲线 C1中的三个参数 a，b，c 的值分别为多少？提示：3,4,5.问题 2：试画出双曲线 C1的草图？提示：如图所示：问题 3：观察双曲线 C1的图象，曲线与 x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？提示：与 x 轴有交点，有对称性．[导入新知]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点F1( － c, 0) ， F 2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ) 焦距| F 1F2| ＝ 2 c 范围x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈Ry ≤ － a 或 y ≥ a ，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) 轴实轴：线段 A1A2，长：2 a ；虚轴：线段 B1B2，长：2 b ；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝∈(1 ，＋∞ ) 渐近线y＝±xy＝±x2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 y ＝ ± x ，离心率为 e＝.[化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．1(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，得＝1＋≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即 x≤－a 或 x≥a.(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，若 P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因 P 与 P1，P2分别关于 y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于 y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．双曲线的几何性质[例 1] 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在 x 轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x.[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中 a，b的对应值，利用 c2＝a2＋b2得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线 9x2－16y2＋144＝0 的实半轴长、虚半轴上长...