2.3.2.2 双曲线简单几何性质的应用[目标] 1.掌握直线与双曲线位置关系.2.掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程．[重点] 直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题．[难点] 在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及较大的运算量．知识点一 直线与双曲线的位置关系[填一填]一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．[答一答]1．直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双曲线相切吗？提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．知识点二 弦长公式[填一填]斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝.[答一答]2．当直线的斜率 k 不存在或为 0 时，如何求弦长？提示：把直线的方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求其弦长．1．正确理解直线和双曲线的位置关系以过原点的直线和过焦点的直线为例．(1)设直线 y＝kx，双曲线－＝1(a>0，b>0)．① 当－时，直线和双曲线一支相交，有两个交点．2．求弦长及中点弦的问题求弦长可采取两种方法．一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式．中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率．类型一 直线与双曲线位置关系的判定【例 1】 已知直线 y＝kx 与双曲线 4x2－y2＝16.当 k 为何值时，直线与双曲线：(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点．【分析】 →→【解】 由消去 y，得(4－k2)x2－16＝0.(*)当 4－k2＝0，即 k＝±2 时，方程(*)无解．当 4－k2≠0 时，Δ＝－4(4－k2)(－16)＝64(4－k2)，当 Δ>0，即－2
