2.5 平面向量应用举例知识梳理一、向量在平面几何中的应用 平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们. 对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题. 对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点. 对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决. 对于求直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线 l1、l2分别平行的向量m=(-B1,A1) ， n=(-B2,A2) ， 设 向 量m 、 n的 夹 角 为θ ， 则cosθ=,当 cosθ＜0 时，直线 l1、l2 的夹角等于 π-θ；当cosθ≥0 时，直线 l1、l2的夹角等于 θ.二、向量在物理中的应用 力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算. 速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量.知识导学 要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：(1)建模,把物理问题转化为数学问题；(2)解模,解答得到的数学问题；(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.疑难突破1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题.剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形 ABCD,M 是对角线 AC、BD 的交点.设=a,=b.第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.由 向 量 加 法 法 则+=a++=b. 故 2++=a+b. 另 外 , +=a+b.两式相减得-++=0.因为-与共线, +与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使-=λ,+=μ.∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,即-=+=0....
