2．2.1 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．[知识链接]取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F1，F2上，把笔尖放在点 M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．[预习导引]1．双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0 ，－ c ) ，F2(0 ， c ) 焦距|F1F2|＝2c，c2＝a 2 ＋ b 2 要点一 求双曲线的标准方程例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点 P(3，)，Q(－，5)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点 P(3，)和 Q(－，5)在双曲线上，所以解得 (舍去)．若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将 P、Q 两点坐标代入可得解之得所以双曲线的标准方程为－＝1.方法二 设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． P、Q 两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二 焦点在 x 轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中 0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出 a，b 的值．若焦点位置不确定，可分焦点在 x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定 m、n，避免了讨论，实为一种好方法．跟踪演练 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4)和(，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线－＝1 有公共焦点，且过点(3，2...
