高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课堂探究学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.4.2 抛物线的简单几何性质课堂探究探究一 由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y2＝2mx(m≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x2＝2my(m≠0)．【典型例题 1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)对称轴为 x 轴，顶点与焦点的距离为 6；(3)抛物线上点(－5,2)到焦点 F(x,0)的距离是 6.思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出 p 值，即定量．解：(1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2p1x(p1＞0)或 x2＝2p2y(p2＞0)，由过点(－3,2)，知 4＝－2p1·(－3)或 9＝2p2×2，得 p1＝，p2＝，故所求的抛物线方程为 y2＝－x 或 x2＝y.(2)设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)或 y2＝－2px(p＞0)．依题意＝6，所以 2p＝24.所以抛物线方程为 y2＝±24x.(3)由已知＝6，整理得 x2＋10x＋9＝0，即(x＋1)(x＋9)＝0，所以 x＝－1 或 x＝－9.所以 F(－1,0)，p＝2，y2＝－4x；或 F(－9,0)，p＝18，y2＝－36x.显然，若抛物线为 y2＝－36x，则它的准线方程为 x＝9.由抛物线的定义，点 A(－5,2)到 F(－9,0)的距离是 6，而点 A(－5,2)到 x＝9 的距离为14，矛盾．所以所求抛物线的标准方程为 y2＝－4x.探究二 抛物线的实际应用涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．【典型例题 2】 河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一条小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)．由题意，将 B(4，－5)代入方程得 p＝1.6.1所以 x2＝－3.2y.当船两侧和抛物线相接触时，船不...