§2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学习目标 1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)相离⇔直线与圆锥曲线无公共点．(2)相切⇒直线与圆锥曲线有一个公共点．(3)相交⇒2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线 l 的斜率为 k，与圆锥曲线 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝.3．直线与圆锥曲线位置关系的判定直线与圆锥曲线的方程联立，消元得方程 ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离应用弦长公式时注意的问题直线与圆锥曲线的弦长问题一定注意直线斜率不存在的情况，同时，当直线过 x 轴上一个定点(c,0)时，直线方程设为 x＝my＋c，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便．(1)椭圆＋＝1 上的点到焦点距离的最大值是 a＋c.(√)(2)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1 只有一条切线．(×)(3)设点 P(x0，y0)为双曲线－＝1 上的任一点，则|x0|≥a.(×)类型一 直线与圆锥曲线的位置关系例 1 直线 y＝mx＋1 与椭圆 x2＋4y2＝1 有且只有一个交点，求 m2的值．解 因为直线与椭圆只有一个交点，由消去 y，得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0，所以由 Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，解得 m2＝.引申探究1．典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解 由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0，即 m2>，设中点 M(x，y)，交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以消去 m，得 x2＋4y2－4y＝0.2．典例中若直线与椭圆相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长．解 由得(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝16m2－12>0，即 m>或 m<－，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．则因此|AB|＝＝＝.反思与感悟 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法跟踪训练 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m ...
