2．2.2 双曲线的几何性质[学习目标] 1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．[知识链接]类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？答案 (1)范围：x≥a 或 x≤－a；(2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)．[预习导引]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≥ a 或 y ≤ － a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1( － a, 0) ，A2( a, 0) A1(0 ，－ a ) ，A2(0 ， a ) 渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 y ＝ ± x ，离心率为.要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率 e＝＝；渐近线方程为 y＝±x.规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪演练 1 求双曲线 x2－3y2＋12＝0 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解 将方程 x2－3y2＋12＝0 化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4.∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4.焦点坐标为 F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为 A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为 y＝±x，离心率 e＝2.要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为 y＝±x，且经过点 A(2，－3)．解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.(2)方法一 双曲线的渐近线方程为 y＝±x，若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.① A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②由①②联立，无解．若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③ A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1...
