专题突破二 焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例 1 抛物线 y2＝2px(p>0)，设 AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B 在准线上的射影为 A1，B1.证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若直线 AB 的倾斜角为 θ，则|AF|＝，|BF|＝；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中 θ 为直线 AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为 2p，通径是最短的焦点弦；(4)＋＝为定值；(5)S△OAB＝(θ 为直线 AB 的倾斜角)；(6)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题证明 (1)① 当 AB⊥x 轴时，不妨设 A，B，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.② 当 AB 的斜率存在时，设为 k(k≠0)，则直线 AB 的方程为 y＝k，代入抛物线方程 y2＝2px，消元得 y2＝2p，即 y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)当 θ≠90°时，过 A 作 AG⊥x 轴，交 x 轴于 G，由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，在 Rt△AFG 中，|FG|＝|AF|cosθ，由图知|GG1|＝|AA1|，则 p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝，同理得|BF|＝；当 θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，对于|AF|＝，|BF|＝亦成立，∴|AF|＝，|BF|＝.(3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋＝≥2p，当且仅当 θ＝90°时取等号．故通径为最短的焦点弦．(4)由(2)可得，＋＝＋＝.(5)当 θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，故满足 S△OAB＝；当 θ≠90°时，设直线 AB：y＝tanθ，原点 O 到直线 AB 的距离d＝＝sinθ，S△OAB＝|AB|＝sinθ×＝.(6)如图：⊙M 的直径为 AB，过圆心 M 作 MM1垂直于准线于点 M1，则|MM1|＝＝＝，故以 AB 为直径的圆与准线相切．(7)设直线 AB 的方程：x＝my＋，代入 y2＝2px 得 y2－2pmy－p2＝0.由(1)可得 y1y2＝－p2.因为 BB1∥x 轴，∴B1，即 B1，＝＝＝×＝＝kOA，所以OB1∥OA且公共点为 O，所以直线 AB1过点 O.所以 A，O，B1三点共线，同理得 B，O，A1三点共线．二、焦点弦性质的应用例 2 (1)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.B.C.D.考点 抛物线中过焦点的弦...
