专题突破一 离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例 1 (1)已知双曲线两渐近线的夹角为 60°，则双曲线的离心率为________．答案 2 或解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．当双曲线的焦点在 x 轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为 60°，如图 1 所示；若其中一条渐近线的倾斜角为 30°，如图 2 所示，所以双曲线的一条渐近线的斜率 k＝或 k＝，即＝或.又 b2＝c2－a2，所以＝3 或，所以 e2＝4 或，所以 e＝2 或.同理，当双曲线的焦点在 y 轴上时，则有＝或，所以＝或，亦可得到 e＝或 2.综上可得，双曲线的离心率为 2 或.方法二 根据方法一得到：当双曲线的焦点在 x 轴上时，渐近线的倾斜角 θ 为 30°或60°，则离心率 e＝＝或 2；当双曲线的焦点在 y 轴上时，渐近线的倾斜角 θ 为 30°或 60°，则离心率 e＝＝2 或.综上可得，双曲线的离心率为 2 或.(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是________．考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 [2，＋∞)解析 由题意知≥，即 2≥3，∴e＝≥2，故离心率 e 的取值范围是[2，＋∞)．点评 (1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．(2)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用 e＝得到离心率的取值范围．跟踪训练 1 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A.B.C.D.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.方法一 设 b＝k(k>0)，则 a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.方法二 e2＝＋1＝＋1＝，故 e＝.二、以焦点三角形为指向求离心率例 2 如图，F1和 F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．思维切入 连接 AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．考点 双...
