2.2.2 双曲线的几何性质学习目标 1.掌握双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一 双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝a，b，c 间的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)特别提醒：(1)已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，可知双曲线的渐近线方程：令 1 为 0 可得－＝0⇒y＝±x，这样便于记忆．(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．知识点二 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 y ＝ ± x ，离心率为.1．双曲线－＝1 与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．( √ )2．双曲线－＝1 与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e＝.( √ )4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( × )5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )题型一 由双曲线方程研究其几何性质例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a，b，c，渐近线解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以 a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为 F1(－，0)，F2(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x＝±x.引申探究求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长 a＝，虚半轴长 b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率 e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为 y＝±x，即 y＝±x.反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质．...
