第二章 圆锥曲线与方程本章整合知识网络专题探究专题一、轨迹问题1【例 1】 已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程．思路分析：先根据椭圆的定义列出关系式，再将其坐标化即可．解： |AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的一支．又 c＝7，a＝1，b2＝48，故点 F 的轨迹方程是 y2－＝1(y≤－1)．【例 2】 已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，试确定动圆圆心 E 的轨迹．思路分析：先利用两圆内切和外切表示圆心距，再利用双曲线定义求解．解：设动圆 E 的半径为 r，则由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－，所以|AE|－|BE|＝2.又 A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,2＜|AB|.根据双曲线的定义知，点 E 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的右支．【互动探究】 若例 2 条件“与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切”改为“与圆 B：(x－4)2＋y2＝4外切”则结论如何？解：设动圆 E 的半径为 r，∴|EB|－|EA|＝2－＜|AB|＝8，∴点 E 的轨迹为双曲线的一支．2【例 3】 过双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q 引直线 x＋y＝2 的垂线，垂足为 N.求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程．思路分析：先找到 P 点和 Q 点坐标之间的关系，再利用 Q 点坐标满足双曲线方程，间接求得 P 点的轨迹．解：设动点 P 的坐标为(x，y)，点 Q 的坐标为(x1，y1)，则点 N 的坐标为(2x－x1,2y－y1)．因为点 N 在直线 x＋y＝2 上，所以 2x－x1＋2y－y1＝2.①又因为 PQ 垂直于直线 x＋y＝2，所以＝1，即 x－y＋y1－x1＝0.②联立①②解得又点 Q 在双曲线 x2－y2＝1 上，所以 x－y＝1，⑤将③④代入⑤，得动点 P 的轨迹方程是 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.专题二、离心率问题【例 4】 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为 2c，若直线 y＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c，则椭圆的离心率等于( )A. B. C.－1 D.－1解析：当 x＝c 时，由＋＝1，得 y＝±.又交点在 y＝2x 上，∴交点坐标为.∴2c＝＝＝a－.∴2＝1－，即 e2＋2e－1＝0，解得 e＝－1±. 0＜e＜1，∴e＝－1.答案：D【例 5】 点 P 是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和圆 x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且 2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中 F1和 F2是双曲线的...
