第 3 课时 直线与椭圆的位置关系(二)题型一 弦长问题例 1 已知动点 P 与平面上两定点 A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.(1)试求动点 P 的轨迹方程 C；(2)设直线 l：y＝kx＋1 与曲线 C 交于 M，N 两点，当|MN|＝时，求直线 l 的方程.考点 题点 解 (1)设动点 P 的坐标是(x，y)，由题意得 kPA·kPB＝－.∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.故 P 点的轨迹方程 C 是＋y2＝1(x≠±)．(2)设直线 l 与曲线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.|MN|＝·＝，整理得 k4＋k2－2＝0，解得 k2＝1 或 k2＝－2(舍)．∴k＝±1，经检验符合题意．∴直线 l 的方程是 y＝±x＋1，即 x－y＋1＝0 或 x＋y－1＝0.反思感悟 求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中 x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．跟踪训练 1 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于 A，B 两点，求弦AB 的长．考点 题点 解 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知 a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，∴F(，0)，∴直线 l 的方程为 y＝x－，将其代入椭圆方程，并化简、整理得 5x2－8x＋8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.题型二 中点弦问题例 2 已知椭圆＋＝1 的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2,1)，求直线 AB 的方程．考点 题点 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2是上述方程的两根，于是 x1＋x2＝.又 M 为线段 AB 的中点，∴＝＝2，解得 k＝－.故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.方法二 点差法设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2. M(2,1)为线段 AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又 A，B 两点在椭圆上，则 x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－＝－，即 kAB＝－.故所求直线的方程为 x＋...
