第 4 课时 直线与椭圆的位置关系(三)题型一 定点问题例 1 设椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的离心率为 e＝，且过点.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设椭圆 E 的左顶点是 A，若直线 l：x－my－t＝0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M，N(M，N与 A 均不重合)，若以 MN 为直径的圆过点 A，试判定直线 l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．考点 椭圆中的定值、定点问题题点 椭圆中的定点问题解 (1)由 e2＝＝＝，可得 a2＝2b2，椭圆方程为＋＝1，代入点可得 b2＝2，a2＝4，故椭圆 E 的方程为＋＝1.(2)由 x－my－t＝0 得 x＝my＋t，把它代入 E 的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝－，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.因为以 MN 为直径的圆过点 A，所以 AM⊥AN，所以AM·AN＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝＋2×＋4＋＝＝＝0.因为 M，N 与 A 均不重合，所以 t≠－2，所以 t＝－，直线 l 的方程是 x＝my－，直线 l 过定点 T，由于点 T 在椭圆内部，故满足判别式大于 0，所以直线 l 过定点 T.反思感悟 求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为 0 的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为 y＝kx＋b，则直线 y＝kx＋b 恒过点(0，b)，若直线方程为 y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0)．跟踪训练 1 已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率 e＝，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图所示，椭圆 C 的左顶点为 A，过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P，Q两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点．试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？并说明理由．考点 题点 解 (1)由椭圆 C 的短轴长为 2，得 b＝，又由 e＝＝＝，得 a2＝4，∴椭圆 C 的标准方程为＋＝1.(2)设 P(x0，y0)，则 Q(－x0，－y0)，且＋＝1，即 x＋2y＝4.易知 A(－2,0)，∴直线 PA 的方程为 y＝(x＋2)，∴M，直线 QA 的方程为 y＝(x＋2)，∴N.可得 MN 的中点为，根据两点间距离公式可得|MN|＝，∴以...
